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« Non Inultus Premor » tel est l'en-tête de la note que Henri Poincaré remet à l'Académie des Sciences, le 22 mars 1880, afin de concourir au Grand Prix des Mathématiques. C'est aussi la devise de Nancy, sa ville natale, que l'on peut traduire par « Qui s'y frotte s'y pique ». L'objectif que se donne Poincaré dans cette note est d'inventer une méthode de résolution des équations différentielles – un sujet mathématique d'une très grande richesse, fondé par les célèbres contributions d'Isaac Newton.

Les maths ne sont qu'une question de groupes

Cette première note sera complété par 3 suppléments dans les mois qui suivent. Lors de la rédaction de ces articles qu'il adresse à l'Académie des Sciences, le jeune scientifique bute sur des questions redoutables. Il s'enfonce dans une certaine perplexité jusqu'au jour où l'idée novatrice surgit d'une manière inattendue : «Les péripéties du voyage me firent vite oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade; au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l'idée me vint, sans que rien dans mes pensées mathématiques parût m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la géométrie non euclidienne » rapporte-t-il bien plus tard, dans l'ouvrage « Science et Méthode ».

A l'époque, l'usage de la géométrie non euclidienne est encore peu répandue, bien que Lobachevsky et Riemann en aient posé les premières fondations au cours du 19ème siècle. Déstabilisante, elle remet en cause la notion usuelle que nous avons de l'espace. Pour Poincaré cette nouvelle géométrie se ramène à l'étude d'un groupe d'isométries, c'est-à-dire un ensemble de transformations qui préservent les longueurs. Il compose son dernier article à partir de cette piste, suivant une structure exactement inverse à celle du premier texte envoyé à l'académie, sans réussir pour autant à résoudre le problème qu'il s'était donné.

La correspondance avec Klein

Dans une première lettre, il lui reproche par exemple de ne pas faire référence à des travaux antérieurs. Le jeune Poincaré s'attaque en effet à un problème dont il connaît peu la bibliographie. Il trouve alors en la personne de Klein un concurrent, mais aussi un guide à même de le nourrir de littérature scientifique, de catalyser ses réflexions, et de l'encourager dans ses pressentiments. C'est ainsi que Poincaré relie finalement les solutions des équations différentielles qui le préoccupent aux isométries de la géométrie non-euclidienne. Ces résultats émergeront entre 1881 et 1884, années durant lesquelles Poincaré publie un nombre important de notes sur le sujet dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (CRAS), dont pas moins de 27 entre 1881 et 1882, et quelques volumineux mémoires qui résument et complètent ces notes, dans la revue Acta Mathematica. Ces textes scellent un travail décisif pour les études futures des équations différentielles et des groupes dits fuchsiens et kleiniens. Illustration en images dans la conférence d'Étienne Ghys !

Étienne Ghys est académicien et directeur de recherche CNRS à l'ENS de Lyon. Il est notamment co-auteur du livre « L'héritage scientifique de Poincaré » paru chez Belin, en 2006.

Vulgarisateur reconnu, il est l'un des fondateurs du site Internet « Images des Mathématiques », qui a pour but de présenter la recherche contemporaine à un public non spécialiste, ainsi que les aspects historiques, culturels et sociologiques des mathématiques, ou encore les différentes facettes du métier de mathématicien.

Les préoccupations pédagogiques d'Étienne Ghys l'ont conduit à co-produire le film « Dimensions.... Une promenade mathématique », téléchargeable ou disponible en DVD sur le site « Dimensions ». Accessible dès 12 ans, comportant de nombreux compléments, ce film vient de recevoir le prix d'Alembert 2010. Avis aux passionnés !