Henri Poincaré est né à Nancy le 29 avril 1854. Lorrains, ses parents font partie de l'élite intellectuelle de la IIIème  République. Son père, Léon Poincaré, est médecin et devient Professeur à la faculté de Médecine de Nancy.  Son oncle, Antoine Poincaré, polytechnicien, est ingénieur en chef des ponts et chaussés à Bar-le-Duc. Quant à ses cousins, l’un, Raymond Poincaré, a été plusieurs fois ministre et sera président de la République de 1913 à 1920;  tandis que l'autre, Lucien Poincaré, est devenu directeur de l'enseignement secondaire au Ministère de l'instruction publique.

L'enfance de Poincaré est exceptionnellement heureuse, entourée par sa mère qui s'occupe de lui avec  bienveillance et intelligence. La famille Poincaré a une riche vie sociale ponctuée d'excursions sur les hauteurs de Nancy pour des pique-niques en groupe, de très nombreux voyages plusieurs fois par an chez les grands parents maternels à Arrancy (dans la Meuse) mais aussi dans le reste de la France et en Europe.

En 1862, Henri entre au lycée de garçons de Nancy (désormais rebaptisé Lycée Henri Poincaré en son honneur...). Il y passe onze années au lycée et s'y révèle un excellent élève dans toutes les matières.

Lorsque la ville est occupé par les Allemands le 14 Août 1870, la famille Poincaré doit héberger le secrétaire du commissaire civil de Nancy. Poincaré vit les horreurs de la guerre au plus près : au côté de son père médecin qu'il accompagne parfois mais aussi au cours d'un voyage chez ses grands parents lorsqu'il traverse des villages incendiés et vides de leurs habitants.

Bachelier ès lettres et bachelier ès sciences en 1871, il remporte plusieurs premiers prix au concours général. En mathématiques élémentaires et spéciales, il fait la connaissance de Paul Appell qui deviendra également un célèbre mathématicien et qui le décrit ainsi : "Dès les premières interrogations en classe, sa supériorité apparut éclatante : il répondait aux questions en supprimant les raisonnements intermédiaires, avec une brièveté et une concision telles que le professeur lui demandait toujours de développer ses réponses : il lui disait : Si vous répondez ainsi vous risquez de n'être pas compris."

En 1873, Poincaré est reçu premier à l'Ecole Polytechnique et cinquième à l'Ecole Normale Supérieure (Paul Appell est deuxième!) Suivant sans doute l'exemple et les conseils de son oncle, il choisit l'X.

Après ses études à l'école des Mines, il entame une brève carrière d'ingénieur des mines. Il est affecté à Vesoul le 28 mars 1879. Au cours de cette période, il termine sa thèse de doctorat sur les équations différentielles sous la direction de Charles Hermite. La soutenance a lieu le 1er août, à Paris. Les membres du jury ne sont pas complètement séduits par ses travaux auxquels ils reprochent notamment une rédaction un peu hâtive et des lacunes dans certaines démonstrations. Le 1er décembre 1879, son doctorat en poche, Henri Poincaré est nommé maître-assistant à l'université de Caen.

Scientifique passionné par de très nombreux aspects des mathématiques et de la physique, Poincaré fait des contributions majeures dans de nombreuses branches : mécanique céleste, mécanique des fluides, électromagnétisme, relativité...

En 1880, il publie son premier mémoire d'importance ''Sur les courbes définies par une équation différentielle.''  Il y propose une nouvelle classification des points singuliers des courbes solutions d'équations différentielles et introduit la dénomination originale :nœud, col, foyer, centre.

Lorsque l'Académie des Sciences lance un concours “pour des avancées significatives sur certains aspects de la théorie des équations différentielles,” Poincaré a pris connaissance des travaux de Lazar Fuchs sur une classe de fonctions complexes solution de certaines équations différentielles. Il consacre alors son mémoire à ce qu'il  nomme les fonctions "fuchsiennes" qui sont une première tentative de généralisation de cette classe de fonctions. Si le grand prix de Mathématiques de l'Académie des Sciences est finalement attribué à Georges Halphen, le mémoire de Poincaré obtient la mention "très honorable". Poincaré réalise peu de temps après que ces fonctions sont en fait reliées à la géométrie non-euclidienne. Il complétera donc son premier essai par trois suppléments envoyés à l'Académie des Sciences dans lesquels il décrit en détails les liens entre les fonctions fuchsiennes et la géométrie non-euclidienne.

En 1888, le roi Oskar II de Suède et de Norvège annonce qu'il organise un concours de Mathématiques sur des questions relatives au système solaire. Le jury est composé de trois membres : Hermite, Weierstrass et Mittag-Leffler. Les mémoires doivent être envoyés avant le 1er juin 1888. Poincaré remporte le premier prix pour sa contribution importante au problème des trois corps (en mécanique céleste). Appell est second.  Mais par la suite Phragmen trouve une erreur dans le mémoire soumis par Poincaré.  Ce dernier est contraint de remanier considérablement son texte. Il découvre à cette occasion ce que l'on appelle aujourd'hui les comportements chaotiques et pose ainsi les fondations de la théorie du chaos. Il doit payer de sa poche 3585 couronnes pour en publier une version corrigée en mai 1890.

A partir de ce concours mémorable, Poincaré acquiert une stature de grand savant international dont la renommée s'étend auprès du grand public.

En mécanique céleste, ses autres travaux célèbres sont Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste publiés en trois volumes entre 1892 et 1899 ainsi que ses Leçons de mécanique céleste en 1905.

Poincaré contribue aussi de façon éclatante à la topologie (appelée alors Analysis situs) et pose les bases de la topologie algébrique à travers six articles majeurs publiés entre 1895 et 1904. Le premier, publié dans le premier volume de l'Ecole Polytechnique, Poincaré y introduit (ou ré-interprète) les notions de : nombres de Betti, de groupe fondamental d'une variété, de groupe d'homologie... Les cinq autres, bien que tous dénommés "compléments" paraissent dans des revues de premier plan. C'est dans le dernier de ceux-ci qu'il énonce sa fameuse conjecture : «  Se peut-il que le groupe fondamental d'une variété se réduise à l'identité mais que cette variété ne soit pas homéomorphe à la sphère? »

Poincaré est aussi considéré comme l'initiateur de la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables.

En 1905, il publie l'article "Sur la dynamique de l'électron" qui est considéré de nos jours comme un des textes fondateurs de la théorie de la relativité restreinte.

Parallèlement à ces activités scientifiques, Poincaré mène une réflexion philosophique sur la nature des mathématiques et de la science en général. Il publie trois ouvrages dans ce domaine qui ont eu un certain succès public:   La Science et l'Hypothèse (1902), La Valeur de la Science (1905), et Science et Méthode (1908), auquel il convient d'ajouter un ouvrage postume Dernières Pensées (1913).

Poincaré est mort en 1912.